数学建模

数学建模简介

数学建模就是建立数学模型解决实际问题。

好的数学模型

什么样的模型可以算得上一个好模型呢？它需要遵循以下要点：

形式简洁：模型不至于太冗长，大道至简。
精度到位：求解精度符合工程实际的要求。
理论创新：在理论层面上进行一些创新。
排除干扰：能够排除一些无关紧要的干扰项。
可解释性：模型的结果有良好的可解释性。
求解方便：模型能够利用 MATLAB、Python 等求解工具进行求解。

注意：好的模型需要不断进行调整，前人的一些好模型我们仍然可以进行改进。

数学建模问题

数学建模问题类型大致可以分为以下两类：

“以模型为核心”的优化类、过程类问题
“以数据为核心”的统计类、分析类问题

解析方法与几何模型

向量表示法与几何建模

几何建模的思想

分析几何问题，在现在这个阶段我们所掌握的方法大体上可以分为三种：

传统几何的演绎-证明体系
基于向量的计算化几何
基于极坐标与方程的解析几何

几何方法去进行建模的一些常见的公理与定理：

三角形中的角度关系
勾股定理
正弦定理
余弦定理
圆幂定理
切割线定理
四点共圆
圆锥曲线的几何性质
圆锥曲线的光学性质
圆锥曲线的离心率

向量表示与坐标变换

从代数的意义上你可以认为向量是一个集合，从几何的意义上你又可以认为向量是一个n维欧几里得空间中的一个点：

$$x=[x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}]^{T}$$

和二维、三维空间中的向量一样，高维空间中的向量同样可以进行加减运算、数量乘运算和数乘运算。

引入向量的目的并不仅仅是为了在几何图形中更好地表示方向和距离，而是为了利用代数的方法来解决几何问题。向量提供了一种将几何概念转化为代数表达式的方式，从而使得几何问题的解决变得更加简单和直接。

在数学中，坐标变换通常涉及到一系列的矩阵运算，这些矩阵描述了一个坐标系相对于另一个坐标系的位置和方向。旋转变换就是其中的一个典型例子。当我们说一个坐标系相对于另一个坐标系进行了旋转，我们通常是指它绕着一个轴或者点旋转了一定的角度。二维空间的旋转可以简化为点绕原点旋转，而三维空间则涉及到更复杂的轴向旋转。