方差分析简介
对于多个总体均值的比较问题, 处理这类问题通常采用所谓的方差分析方法
方差分析理论
单因子方差分析
问题描述：
通常, 在单因子试验中, 记因子为 $A$ ,
设其有 $r$ 个水平, 记为 $A_{1}, A_{2}, \cdots, A_{r}$ ,
在每一个水平下考察的指标可以看成一个总体, 现有 $r$ 个水平,
故有 $r$ 个总体, 假定如下，并且这三个假定都可以用统计方法进行验证:
- (1) 每一个总体均为正态总体, 记为
$N(\mu_{i}, \sigma_{i}^{2}), i=1,2, \cdots, r$. 利用正态性验证成立. - (2) 各总体的方差相同, 记为
$\sigma_{1}^{2} = \sigma_{2}^{2} = \cdots = \sigma_{r}^{2} = \sigma^{2}$. 利用方差齐性检验验证成立. - (3) 从每一总体中抽取的样本是相互独立的, 即所有的试验结果
$y_{ij}$都相互独立. 可由随机化实现, 这里的随机化是指所有试验按随机次序进行.
接下来要做的工作就是比较各水平下的均值是否相同，即要对如下的一个假设进行检验:
$$H_{0}: \mu_{1} = \mu_{2} = \cdots = \mu_{r}.$$
其备择假设为:
$$H_{1}: \mu_{1}, \mu_{2}, \cdots, \mu_{r} 不全相等.$$
在不会引起误会的情况下
$H_{1}$通常可省略不写.
- 问题讨论：
- 如果
$H_{0}$成立，因子$A$的$r$个水平均值相同， 称因子$A$的$r$个水平间没有显著差异，简称因子$A$不显著; - 反之，当
$H_{0}$不成立时，因子$A$的$r$个水平均值不全相同， 这时称因子$A$的不同水平间有显著差异，简称因此$A$显著.
- 如果
- 进行试验:
- 为了对假设
$H_{0}$进行试验，需要从每一水平下的总体抽取样本， 设从第$i$个水平下的总体获得$m$个试验结果， 记$y_{ij}$表示第$i$个总体的第$j$次重复试验结果， 共得如下$r \times m$个试验结果:
- 为了对假设
$$y_{ij}, i = 1, 2, \cdots, r, j=1, 2, \cdots, m.$$
- 其中:
$r$为水平数，$m$为重复数，$i$为水平编号，$j$为重复序号.- 在水平
$A_{i}$下的试验结果$y_{ij}$与该水平下的指标均值$\mu_{i}$一般总是有差距的， 记$\epsilon_{ij} = y_{ij} - \mu_{i}$,$\epsilon_{ij}$称为随机误差，于是有:
- 在水平
$$y_{ij} = \mu_{i} + \epsilon_{ij}$$
- 上式称为试验结果
$y_{ij}$的数据结构式, 把三个假定用于数据结构式就可以写出单因子方差分析的统计模型. - 单因子方差分析的统计模型
$$\begin{cases} y_{ij} = \mu_{i} + \epsilon_{ij}, i = 1, 2, \cdots, r, j=1, 2, \cdots, m. \\ 诸 \epsilon_{ij} 相互独立，且都服从 N(0, \sigma^{2}) \end{cases}$$
为了更好地描述数据，常在方差分析中引入总均值与水平效应的概念， 称诸
$\mu_{i}$的平均(所有试验结果的均值的平均)为总均值，也称一般平均。
$$\mu = \frac{1}{r}(\mu_{1} + \mu_{2} + \cdots + \mu_{r}) = \frac{1}{r}\sum_{i=1}^{r}\mu_{i}$$
称第 $i$ 水平下的均值 $\mu_{i}$ 与总均值 $\mu$ 的差为因子 $A$ 的第 $i$ 水平的主效应，
简称为 $A_{i}$ 的水平效应:
$$a_{i}=\mu_{i} - \mu, i = 1, 2, \cdots, r.$$
容易看出第 $i$ 个总体均值是由总均值与该水平效应叠加而成的:
$$\begin{cases} \sum_{i=1}^{r}a_{i}=0 \\ \mu_{i} = \mu + a_{i} \end{cases}$$
$$\begin{cases} y_{ij} = \mu + a_{i} + \epsilon_{ij}, i = 1, 2, \cdots, r, j=1, 2, \cdots, m. \\ \sum_{i=1}^{r}a_{i}=0, \\ \epsilon_{ij} 相互独立，且都服从 N(0, \sigma^{2}). \end{cases}$$
- 单因子方差分析的假设
原假设:
$$H_{0}: a_{1} = a_{2} = \cdots = a_{r}.$$
其备择假设为:
$$H_{1}: a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{r} 不全相等.$$