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读《漫谈现代统计"四大天王"》

wangzf / 2022-05-07

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摘要

《漫谈现代统计"四大天王"》是勤学派公众号中的一系列的随笔, 这个系列随笔主要记述波澜壮阔、精彩纷呈的统计世界里那些令笔者印象深刻的故事与传奇; 试图去理解和还原现代统计的逻辑与思想s

漫谈现代统计"四大天王": 卡尔·皮尔逊

统计

统计, 是数学作用于现实生活中的一场思想革命, 它正持续的进行着, 我们每个人亲历其中. 但人们谈起它, 也往往有着如狄更斯这样复杂的情愫: 当普罗大众可以在不经意间谈论"风险"、 “概率”、“相关"这些概念的时候, 它早已悄悄地改变了人们关于科学、关于世界的底层信念; 借着今天大数据、人工智能的春风, 它必将如火如荼地蔓延开去, 日新月异地改变我们的生活. 而另一方面, 统计可能是最不严谨的数学子学科, 像"建立在沙土的摩天大厦”, 很多本源的理论问题至今并没有得到令人满意的解答, 也导致人们在工作生活中越来越广泛地使用统计思想和模型的同时, 产生了越来越多的怀疑和忧虑.

世界的本质是随机的吗？

谈统计, 我们却不得不从这样一个哲学问题开始, 因为它涉及整个学科存在的合理性.

如果我们拿这个问题去问任何一个统计学家, 他/她一定会回答: 是！

——否则, 还要统计干什么呢？

但要大众文化接受这样的观念却并不容易.

一者, 自19世纪以来, 以牛顿力学为代表的科学, 应用于现实世界, 在各行各业取得了巨大的成就, 也让一种"决定论"的世界观深入人心——世界的本质就像一个大时钟运行着, 于是, 我们只需要少量的数学公式, 不仅可以描述现实, 还能预测未来.

二者, “随机"在人们日常的理解中就是"未知、复杂、毫无规律"的同义语. 比如, 讲故事的时候说"海盗把宝藏随机埋在了海岛上”——基本就是说, 你绝无可能找到宝藏了(假设根本没有藏宝图, 海盗都是打死不说). 那么, 就算世界上还有很多未解之谜, 也不能说本质是"随机"的吧.

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漫谈现代统计"四大天王": 费舍尔

试验该怎么做？

毫不夸张的说, 在费希尔之前, 可能没有人想过这个问题.

我们甚至不清楚, 这个问题在问什么. 因为长期以来, 在"决定论"的世界观下, 我们从不觉得存在讨论这个问题的必要: 用实验去发现新知, 难道不是自然而然？比方, 哈维做了解剖实验就发现了血液循环; 伽利略从比萨斜塔扔下去了两个大小不同的球就发现了自由落体定律; 孟德尔做了豌豆杂交实验就发现了遗传规律……不就是这么"直接"做嘛？ 哪里还有什么"怎么做"的问题？

但读者如能联系一下本系列第一篇里, 我们谈到"世界的本质是随机的"——这一统计学最底层哲学观点, 会不会就有一丝的迟疑: 觉得刚刚那些说的那些, 其实不是"直接", 实则是有点"简单粗暴"呢？当然, 暂时不明白也没关系, 让我们从下面这个"女士品茶"的故事说起——这个颇有维多利亚时代言情小说调调的典故, 其实大有来头.

20世纪20年代末一个夏日的午后, 在英国剑桥, 一群大学教员和他们的妻子以及一些客人围坐在一起喝下午茶. 一位女士坚持认为: 将茶倒进牛奶里和将牛奶倒进茶里的味道是不同的. 在座的科学家都觉得这种观点很可笑: 这能有什么区别呢？他们觉得两种液体的混合物在化学成分上不可能有任何区别. 此时, 一个带着厚厚的眼镜、留着尖髯的男子表情变得严肃起来, 这个问题让他陷入了沉思.

“让我们检验这个命题吧. “他激动地说.

故事说到这里, 大家可能猜到故事里这个"厚厚眼镜”、“留着尖髯"的男子就是费希尔. 我们稍加停顿, 不妨带入他的角色, 深入地思考一下: 如何做实验来检验这个命题.

也许你觉得这个简单啊: 直接给她一杯用两种方式之一混的茶, 让她去区别就好了嘛. 但如果她说对了, 就能说明她有鉴别能力吗？如果她说错了, 就能说明她一定没有鉴别能力吗？也许, 你觉得一杯还不够, 要多试几杯. 那到底要试到多少杯呢？而对于她的判断结果, 又回到了原来的问题: 全对是不是意味着她一定有辨别能力, 全错是不是一定没有辨别能力？可能更复杂的是, 如果她有的对, 有的错, 又如何下结论呢？

到现在, 你大概终于明白了本节的标题: 实验怎么做, 大有学问！

还是以女士品茶问题为例: 假定她完全没有分辨能力, 给她一杯茶, 她随便猜一个答案其实也有50%的可能说对; 假如她有分辨能力, 但种种原因(比如茶还混得不好, 混合的温度不对, 她之前吃的甜食影响了她的味觉, 再或者……想想你怎么和父母解释为什么你考试没考好, 你就能帮她想出无数的"客观原因”), 她也有可能犯错啊.

我们可能想到, 要多试几杯, 那到底试几杯怎么定？另外, 我们要怎么去试, 即形式、顺序, 和向这个女士透露多少信息呢？比方, 定下测试十杯, 一种方案可以是分五组, 每组有一杯茶加奶, 另一杯奶加茶, 并告知这个女士, 让她一组一组判断. 另一个方案, 随机地选十杯, 没有任何提示, 让她一一判断. 当然了, 实验设计方案远不止这两种, 甚至是要多少有多少的. 那么, 应该选那种呢？

再者, 从女士的判断结果如何得出结论呢？比如, 她10杯里分辨对了8杯, 这说明什么？这和前面的实验设计方案当然是息息相关. 不用计算, 我们大概也能感觉得到, 在刚刚举例的两个方案中, 第一种方案说对8杯, 应该比第二种要"容易"不少.

卡尔·皮尔逊与费舍尔的哲学之争

如果世界的本质是随机, 不存在误差, 那么, 也就不存在误差估计了吧？

从卡尔.皮尔逊的角度, 是的, 因为,

皮尔逊认为统计分布是对他分析的实际数据集合的描述.

从费希尔的角度, 答案是否定的.

费希尔则认为真正的分布是抽象的数学公式. 人们所收集的数据只能用于估计真实分布的参数. 由于所有这些估计都会引入误差, 因此费希尔提出了使这类误差程度最小化或使估计值距离真实分布最近的工具.

怎么去理解呢？不妨先回忆一下咱们高中物理学到的一些观点. 学到最后, 老师一般会问及这两个世界观的问题: 宇宙有终极真理吗？我们可以发现终极真理吗？第一个问题, 我们的回答是"有！"——这源自于我们关于科学的信仰. 第二个问题的解答, 则是一种"模型"的观点: 我们不能直接发现"真理”, 而是一系列关于真理的"模型". 模型和真理当然是有差距的, 而我们追求真理的过程, 就是不断用更好的模型更新和扬弃那些旧的不那么好的模型的过程.

再用我们中学熟悉的知识举个例子, 在卢瑟福的alpha粒子轰击金箔散射实验之前, 汤姆生的"枣糕"模型就是最好的原子结构模型, 因为它能解释当时所有已知实验现象(如, 原子的电中性, 以及金属在紫外线的照射下能发出电子等等现象). 但散射实验之后, “枣糕"模型对新的实验现象不能自圆其说了, 于是, 卢瑟福的"行星模型"就取而代之. 这并非是说, 我们认定原子结构就是"行星"这个样子——其实我们永远都不确定原子究竟长什么样; 我们只是说"行星"模型是当下最好, 起码已经足够好——足够简单又足够解释所有已发现的实验现象. 以后当然还会有新的实验发现——“行星"模型也有不能自圆其说的一天, 我们就会发展更好的模型取代它. 科学研究就是这样基于"模型"持续不断自我更新的过程.

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漫谈现代统计"四大天王”: 埃贡·皮尔逊

没有故事的男同学

埃贡.皮尔逊(Egon Pearson 1895~1980)是现代统计奠基人卡尔.皮尔逊的儿子, 为了和他父亲好做区分, 我们称他为"小皮尔逊”(相对的, 称卡尔.皮尔逊为"老皮尔逊").

但直到今天, Pearson几乎还是任何一本统计教科书里的鼎鼎大名——恭喜你, 猜对了——绝大多数都是指向我们本节的主角: 小皮尔逊.

因此, 或许我们会觉得小皮尔逊要比父亲成功得多. 但是, 可能和我们想象大相径庭: 小皮尔逊之于老皮尔逊, 并不像苏轼之于苏洵、丹尼尔.伯努利之于约翰.伯努利那样——可以说得上是"顺理成章"地系出名门而青出于蓝. 其实, 如果读者还记得我们在本系列第一篇介绍过高尔顿爵士发现的均值回归原理的话, 应该明白, 才华出众的父亲应该有个才华不那么出众的儿子, 而不是才华更出众的儿子——才是这个世界上更 “顺理成章"的事情.

痛苦的抉择与意外的转机

启示: 好雪片片

费舍尔藏在地毯下的问题

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漫谈现代统计"四大天王”: 内曼

早年经历: 坎坷 VS 乐观

与统计结缘

在英国: 一个人战斗

在美国: 筚路蓝缕, 一代宗师