信息论
王哲峰 / 2020-05-07
1948 年,美国数学家克劳德·香农发表论文《通信的数学理论》(A Mathematical Theory of Communication),奠定了信息论的基础。
今天,信息论在信号处理、数据压缩、自然语言处理等许多领域, 起着关键的作用。虽然,它的数学形式比较复杂,但是核心思想非常简单, 只需要中学数学就能理解。
词汇的编码
举例:
- 小张是我的好朋友,最近去了美国。
- 我们保持着邮件联系。小张写信的时候,只使用 4 个词汇: 狗、猫、鱼、鸟。
- 信的所有内容就是这 4 个词的组合。第一封信写着"狗猫鱼鸟",第二封信写"鱼猫鸟狗"。
- 信件需要二进制编码,在互联网传递。两个二进制位就可以表示四个词汇。
狗 00
猫 01
鱼 10
鸟 11
所以,第一封信"狗猫鱼鸟"的编码就是 $00011011$
,
第二封信"鱼猫鸟狗"的编码是 $10011100$
。
词汇的分布
最近小张开始养狗,所以信里提到狗的次数多于其他词汇。假定概率分布如下:
狗 50 %
猫 25 %
鱼 12.5
鸟 12.5
小张的最新一封信是这样的:
狗狗狗狗猫猫鱼鸟
上面的这封信,用前一节的方法进行编码:
0000000001011011
一共需要 16 个二进制。互联网的流量费很贵,有没有可能找到一种更短编码方式?
很容易想到,“狗"的出现次数最多,给它分配更短的编码,就能减少总的长度。请看下面的编码方式:
狗 0
猫 10
鱼 110
鸟 111
使用新的编码方式,小张的信"狗狗狗狗猫猫鱼鸟"编码如下:
00001010110111
这时只需要 14 个二进制位,相当于把原来的编码压缩了 12.5%。
根据新的编码,每个词只需要 1.75 个二进制位 (14 / 8)。 可以证明,这是最短的编码方式,不可能找到更短的编码,详见后文。
编码方式的唯一性
前一节的编码方式,狗的编码是 0,这里的问题是, 可以把这个编码改成 1 吗,即下面的编码可行吗?
狗 1
猫 10
鱼 110
鸟 111
11111010110111
回答是否定的。如果狗的编码是 1,会造成无法解码,即解码结果不唯一。 110 有可能是"狗猫”,也可能是"鱼"。只有"狗"为 0,才不会造成歧义。
下面是数学证明。一个二进制位有两种可能 0 和 1, 如果某个事件有多于两种的结果(比如本例是四种可能), 就只能让0或1其中一个拥有特殊含义,另一个必须空出来, 保证能够唯一解码。比如,0 表示狗,1 就必须空出来,不能有特殊含义。
同理,两个二进制位可以表示四种可能: 00、01、10 和 11。 上例中,0 开头的编码不能用了,只剩下 10 和 11 可用,用 10 表示猫, 为了表示"鱼"和"鸟",必须将 11 空出来,使用三个二进制位表示。
这就是,上一节的编码方式是如何产生的。
编码与概率的关系
根据前面的讨论,可以得到一个结论: 概率越大,所需要的二进制位越少。
狗的概率是 50%,表示每两个词汇里面,就有一个是狗,因此单独分配给它 1 个二进制位。
猫的概率是 25%,分配给它两个二进制位。
鱼和鸟的概率是 12.5%,分配给它们三个二进制位。
香农给出了一个数学公式。L表示所需要的二进制位,$p(x)$
表示发生的概率,它们的关系如下:
$$L(x) = log_{2}\Bigg(\frac{1}{p(x)}\Bigg)$$
通过上面的公式,可以计算出某种概率的结果所需要的二进制位。 举例来说,“鱼"的概率是 0.125,它的倒数为 8,以 2 为底的对数就是 3, 表示需要 3 个二进制位。
知道了每种概率对应的编码长度,就可以计算出一种概率分布的平均编码长度。
$$H(p) = \sum_{x}p(x)log_{2}\Bigg(\frac{1}{p(x)}\Bigg)$$
上面公式的 H,就是该种概率分布的平均编码长度。理论上,这也是最优编码长度, 不可能获得比它更短的编码了。
接着上面的例子,看看这个公式怎么用。小张养狗之前,“狗猫鱼鸟"是均匀分布, 每个词平均需要 2 个二进制位。
$$H = 0.25 x 2 + 0.25 x 2 + 0.25 x 2 + 0.25 x 2 = 2$$
养狗之后,“狗猫鱼鸟"不是均匀分布,每个词平均需要 1.75 个二进制位。
$$H = 0.5 x 1 + 0.25 x 2 + 0.125 x 3 + 0.125 x 3= 1.75$$
既然每个词是 1.75 个二进制位,“狗狗狗狗猫猫鱼鸟"这 8 个词的句子, 总共需要 14 个二进制位(8 x 1.75)。
信息与压缩
很显然,不均匀分布时,某个词出现的概率越高,编码长度就会越短。
从信息的角度看,如果信息内容存在大量冗余,重复内容越多,可以压缩的余地就越大。 日常生活的经验也是如此,一篇文章翻来覆去都是讲同样的内容,摘要就会很短。 反倒是,每句话意思都不一样的文章,很难提炼出摘要。
图片也是如此,单调的图片有好的压缩效果,细节丰富的图片很难压缩。
由于信息量的多少与概率分布相关,所以在信息论里面,信息被定义成不确定性的相关概念: 概率分布越分散,不确定性越高,信息量越大; 反之,信息量越小。
信息熵
前面公式里的 H(平均编码长度),其实就是信息量的度量。H 越大, 表示需要的二进制位越多,即可能发生的结果越多,不确定性越高。
比如,H 为 1,表示只需要一个二进制位,就能表示所有可能性,那就只可能有两种结果。 如果 H 为 6,六个二进制位表示有 64 种可能性,不确定性大大提高。
信息论借鉴了物理学,将 H 称为"信息熵”(information entropy)。 在物理学里,熵 表示无序, 越无序的状态,熵越高。
信息量的实例
最后,来看一个例子。如果一个人的词汇量为 10 万,意味着每个词有 10 万种可能, 均匀分布时,每个词需要 16.61 个二进制位。
$$log_{2}(100, 000) = 16.61$$
所以,一篇 1000 个词的文章,需要 1.6 万个二进制位(约为 2KB)。
$$16.61 \times 1000 = 16,610$$
相比之下,一张 480 x 640、16级灰度的图片,需要 123 万个二进制位(约为 150KB)。
$$480 \times 640 \times log_{2}(16) = 1,228,800$$
所以,一幅图片所能传递的信息远远超过文字,这就是"一图胜千言"吧。
上面的例子是均匀分布的情况,现实生活中,一般都是不均匀分布, 因此文章或图片的实际文件大小都是可以大大压缩的。
Reference
- Visual Information Theory, by Christopher Olah
- Information Theory(PDF), Roni Rosenfeld