目标函数

下面研究下面三类语言模型的目标函数：

• Encoder-only 模型：计算双向上下文嵌入(contextual embeddings)
  • 例如，BERT
• Decoder-only 模型：计算单向上下文嵌入(contextual embeddings)，一次生成一个 token
  • 例如，GPT-3
• Encoder-Decoder 模型：编码输入，解码输出
  • 例如，T5

可以使用任何模型（例如，LSTM、Transformers）将 token 序列映射到上下文嵌入(contextual embeddings)中：

$$\phi: V^{L} \rightarrow \mathbb{R}^{d\times L}$$

其中：

• $V$ 为词元集的词汇表；
• $d$ 为上下文嵌入(Contextual Embedding)的维度
• $L$ 为词元集的词汇表的 维度

例如：

$$[\text{the, mouse, ate, the, cheese}]^{5} \stackrel{\phi}{\Rightarrow} \left[ \left(\begin{array}{c}1 \\ 0.1\end{array}\right), \left(\begin{array}{l}0 \\ 1\end{array}\right), \left(\begin{array}{l}1 \\ 1\end{array}\right), \left(\begin{array}{c}1 \\ -0.1\end{array}\right), \left(\begin{array}{c}0 \\ -1\end{array}\right) \right]^{2 \times 5}$$

Decoder-only 模型

自回归语言模型定义了一个条件分布：

$$p(x_{i}|x_{1:i-1})$$

将其定义如下：

• 将 $x_{1:i-1}$ 映射到上下文嵌入 $\phi(x_{1:i-1})$；

• 应用嵌入矩阵 $E \in \mathbb{R}^{V\times d}$ 来获得每个 token 的得分 $E \cdot \phi(x_{1:i-1})_{i-1}$；

• 对其进行指数化和归一化，得到预测 $x_{i}$ 的分布。简洁地：

  $$p(x_{i+1}|x_{1:i}) = \text{Softmax}\big(E \cdot \phi(x_{1:i})_{i}\big)$$

最大似然函数：

设 $\theta$ 是大语言模型的所有参数，设 $D$ 是由一组序列组成的训练数据。 可以根据最大似然原理，定义以下负对数似然目标函数：

$$\begin{align} O(\theta) &= -\sum_{x\in D}\log p_{\theta}(x) \\ &= -\sum_{x\in D}\sum_{i=1}^{L}\log p_{\theta}(x_{i}|x_{1:i-1}) \end{align}$$

有很多的方法可以有效地优化这个目标函数。

Encoder-only 模型

单向到双向

使用上述最大似然可以训练得到 Decoder-only 模型，它会产生（单向）上下文嵌入。 但如果不需要生成，可以提供更强的双向上下文嵌入。

BERT

BERT 的目标函数 包含以下两个部分：

• 掩码语言模型(Masked language modeling)
• 下一句预测(Next sentence prediction)

以自然语言推理（预测隐含、矛盾或中性）任务中的序列为例：

$$x_{1:L}=[[\text{CLS}], \text{all, animals, breathe}, [\text{SEP}], \text{cats, breathe}]$$

其中有两个特殊的 token：

• [CLS]：包含用于驱动分类任务的嵌入；
• [SEP]：用于告诉模型第一个序列（例如，前提）与第二个序列（例如，假设）的位置。

BERT 模型定义为：

$$\begin{align} \text{BERT}(x_{1:L}) &=\text{TransformerBlock}^{24}( \\ &\quad\quad \text{EmbedTokenWithPosition}(x_{1:L}) + \\ &\quad\quad \text{SentenceEmbedding}(x_{1:L})\\ &\quad) \in \mathbb{R}^{d\times L} \end{align}$$

其中，$\text{SentenceEmbedding}(x_{1:L})$ 根据序列返回以下两个矢量之一：

• 对于 $[\text{SEP}]$ 左边的，返回 $e_{A}\in \mathbb{R}^{d}$
• 对于 $[\text{SEP}]$ 右边的，返回 $e_{B}\in \mathbb{R}^{d}$

BERT-large 有 $n_{\text{heads}}=16$ 个 Attention 头， 并且 $d_{\text{model}}=1024$，总共 355M 个参数。

掩码语言模型：

掩码语言模型的基本思想是通过加噪然后预测来进行训练：

[the, [MASK], ate, [MASK], cheese] => [the, mouse, ate, the, cheese]

更普遍地说，可以将其视为类似于去噪自动编码器， 其中映射有噪声/不完整版本 $\tilde{x}_{1:L}$，​并尝试重建原始 $x_{1:L}$。

$$\tilde{x}_{1:L} \Rightarrow x_{1:L}$$

• 建模：首先定义模型分布。给定输入 $\tilde{x}_{1:L}$ 及其上下文嵌入，模型独立地预测每个 token：

  $$P(x_{i}|\tilde{x}_{1:L}) = \text{Softmax}(E \cdot \phi(\tilde{x}_{1:L})_{i})$$

• 掩码：定义了一个（随机）噪声函数 $A(\tilde{x}_{1:L}|x_{1:L})$：

  $$\underbrace{x_{1:L}}_{\text{original}} \stackrel{A}{\Rightarrow} \underbrace{\tilde{x}_{1:L}}_{\text{noised}}$$

  以下是 $A$ 的定义：

  • 假设 $I \subset \{1, \cdots, L\}$ 代表所有位置中随机的 15%；
  • 对于每个 $i \in I$：
    • 以 0.8 的概率，$\tilde{x}_{i} \leftarrow [\text{MASK}]$
    • 以 0.1 的概率，$\tilde{x}_{i} \leftarrow x_{i}$
    • 以 0.1 的概率，$\tilde{x}_{i} \leftarrow \text{random word from} V$

• 减少分布偏移：如果总是使用 [MASK] 来替换 $I$ 中选定的 token，则：

  • 在训练期间，输入到 BERT 的都是带 [MASK] 的序列。
  • 而在测试时，我们会输入没有 [MASK] 的句子，这将导致分布发生变化。 一种启发式的解决方法是在 20% 的时间内(此处指训练的时间)用真实单词替换。

下一句预测：

回想一下，BERT 是在拼接好的成对句子上训练的。下一句预测的目标是预测第二句是否跟随第一句。

[[CLS], the, mouse, ate, the, cheese, [SEP], it, was, full] => 1
[[CLS], the, mouse, ate, the, cheese, [SEP], hello, world] => 0

然后使用 [CLS] 的嵌入来做二分类。

数据集：

$D$ 是按如下方式构造的一组样本 $(x_{1:L}, c)$：

• 令 $A$ 是语料库中的一个句子；
• 以 0.5 的概率，$B$ 是下一句话；
• 以 0.5 的概率，$B$ 是语料库中的一个随机句子；
• 令 $x_{1:L} = [[\text{CLS}], A, [\text{SEP}], B]$；
• 令 $c$ 表示 $B$ 是否是下一句。

训练目标：

BERT 的训练目标是：

$$O(\theta) = \sum_{(x_{1:L} c) \in D} \underbrace{E_{I, \tilde{x}_{1:L} \sim A(\cdot|x_{1:L} I)}\Bigg[-\sum_{i \in I}\log p_{\theta}(\tilde{x}_{i}|x_{1:L})\Bigg]}_{\text{masked language modeling}} + \underbrace{-\log p(c|\phi(x_{1:L})_{1})}_{\text{next sentence prediction}}$$

稍后将讨论训练，这里简要总结一下 BERT：

• BERT（以及 ELMo 和 ULMFiT）表明，一个统一的体系结构（Transformer）可以用于多个分类任务；
• BERT 真正将 NLP 社区转变为 预训练+微调 的范式；
• BERT 显示了深度双向上下文嵌入的重要性，尽管通过模型大小和微调策略可能会弥补这一点， 比如：p-tuning。

RoBERTa

RoBERTa 对 BERT 进行了以下改进：

• 删除了下一句预测这一目标函数（发现它没有帮助）；
• 使用更多数据训练（16GB 文本 $\Rightarrow$ 160GB 文本）；
• 训练时间更长；
• RoBERTa 在各种基准上显著提高了 BERT 的准确性（例如，在 SQuAD 上由 81.8 到 89.4）。

Encoder-Decoder 模型

回想一下编码器-解码器模型（例如，BART、T5）：

• 首先像 BERT 一样对输入进行双向编码；
• 然后像 GPT-2 一样对输出进行自回归解码。

BART

Bidirectional Auto-Regressive Transformers

BART 是基于 Transformer 的 Encoder-Decoder 模型。

• 使用与 RoBERTa 相同的 Encoder 架构（12 层，隐藏维度 1024）
• 使用与 RoBERTa 相同的数据进行训练（160GB 文本）

BART 使用了以下变换 $A(\tilde{x}_{1:L}|x_{1:L})$：

基于 BERT 的实验，最终模型进行以下了变换：

• 掩码文档中 30% 的 token
• 将所有子句打乱

最后，通过微调，BART 在分类和生成任务上都展示了强大的效果。

T5

Text-to-Text Transfer Transformer

T5 是另一种基于 Transformer 的 Encoder-Decoder 模型。

预训练任务：给定一段文本，在随机位置将其分割为输入和输出：

[the, mouse] => [ate the cheese]

论文尝试了许多不同的无监督目标：

并发现 “i.i.d. noise, replace spans” 效果最好（尽管许多目标相似）。

论文还将所有经典的 NLP 任务放在一个统一的框架中，称为 “Text-to-Text” 任务：

以分类任务任务为例，不同模型的差异如下：

• BERT 使用 [CLS] 的嵌入来预测。
• T5、GPT-2、GPT-3 等（生成模型）将分类任务转换成自然语言生成。

注意：

• 论文对整个 pipline 的许多方面（数据集、模型大小、训练目标等）进行了深入研究。
• 基于这些见解，他们训练了一个 11B 的模型。

优化算法

为了简单起见，以自回归语言模型为例：

$$O(\theta) = -\sum_{x\in D}\log p_{\theta}(x)$$

SGD

随机梯度下降

最简单的优化算法是用小批量进行随机梯度下降，该算法的步骤如下：

1. 初始化参数 $\theta$；
2. 重复以下步骤：
   • 采样小批量 $B_{t} \in D$
   • 根据梯度更新参数：

$$\theta_{t} \leftarrow \theta_{t-1} - \eta \frac{1}{|B_{t}|}\sum_{x\in B_{t}}\nabla_{\theta}(-\log p_{\theta}(x))$$

优化的关键点包括：

1. 希望参数 $\theta$ 可以快速收敛；
2. 希望优化在数值上是稳定的；
3. 希望内存高效（尤其是对于大模型）；

这些点往往相互矛盾（例如，通过低精度训练，可以实现快速收敛、减少内存占用，但是会导致训练不稳定）。

因此，可以从几个层次来进行优化：

1. 针对经典优化：二阶方法、约束优化等；
2. 针对机器学习：随机方法、隐式正则化 + 早停法；
3. 针对深度学习：初始化、归一化（更改模型架构）；
4. 针对大语言模型：由于稳定性问题，学习率和一些直觉（例如，二阶方法）仍然有用， 但要使大语言模型有效训练，还需要克服许多其他独特的挑战。 不幸的是，其中大部分内容都是特别的，人们对此了解甚少。

Adam

Adaptive Moment Estimation

Adam 算法拥有以下两个创新：

1. 引入动量（继续朝同一方向移动）；
2. 参数 $\theta_{0}$ 的每个维度都有一个自适应（不同）的步长（受二阶方法启发）。

它的步骤如下：

1. 初始化参数 $\theta_{0}$
2. 初始化动量 $m_{0}, v_{0}\leftarrow 0$
3. 重复以下步骤：

   • 采样小批量 $B_{t} \subset D$

   • 按照如下步骤更新参数：

     • 计算梯度

     $$g_{t} \leftarrow \frac{1}{|B_{t}|}\sum_{x\in B_{t}}\nabla_{\theta}(-\log p_{\theta}(x))$$

     • 更新一阶/二阶动量

     $$m_{t} \leftarrow \beta_{1}m_{t-1}+(1-\beta_{1})g_{t}$$ $$b_{t} \leftarrow \beta_{2}v_{t-1}+(1-\beta_{2})g_{t}^{2}$$

     • 对偏差进行修正

     $$\hat{m}_{t} \leftarrow m_{t} / (1-\beta_{1}^{t})$$ $$\hat{v}_{t} \leftarrow v_{t} / (1-\beta_{2}^{t})$$

     • 更新参数

     $$\theta_{t}\leftarrow \theta_{t-1}-\eta\hat{m}_{t}/(\sqrt{\hat{v}_{t}} + \epsilon)$$

存储占用分析：Adam 将存储从 2 倍的模型参数 $(\theta_{t}, g_{t})$ 增加到了 4 倍 $(\theta_{t}, g_{t}, m_{t}, v_{t})$。

AdaFactor

AdaFactor 是一种为减少存储占用的优化算法。它有如下特点：

• 它不储存 $m_{t}, v_{t}$ 这样的 $O(m\times n)$ 矩阵， 而是存储行和列的和 $O(m+n)$ 并重构矩阵
• 去除动量
• 被用来训练 T5
• AdaFactor 可能使训练变得困难（见 Twitter thread 和 blog post）

混合精度训练

混合精度训练是另一种减少存储的方法。

通常来说，默认的精度是：FP32（32 位浮点），其他可选精度为 FP16（16 位浮点）， 但问题是任何小于 $2^{-24}$ 的值都会变为 0。

• 解决方案：将主权重存储在 FP32 中，并在 FP16 中执行其他所有操作。
• 损失缩放：按比例放大损失，以避免梯度数值太小。
• 结果：存储减少了一半。

学习率

通常情况下，学习率会随着时间的推移而衰减。对于 Transformer 模型， 实际上需要通过预热（warmup）提高学习率。 Huang 等 2020 表明， 一个潜在的原因是防止层归一化的梯度消失，导致使用 Adam 优化器训练时不稳定。

初始化

给定矩阵 $W\in \mathbb{R}^{m\times n}$，标准初始化（即，xavier 初始化）为 $W_{ij}\sim N(0, 1/n)$；

GPT-2 和 GPT-3 通过额外的 $1/\sqrt{N}$ 缩放权重，其中 $N$ 是残差层的数量。 T5 将注意力矩阵增加一个 $1/\sqrt{d}$(代码)。

以 GPT-3 为例，使用的参数如下：

• Adam 参数：$\beta_{1}=0.9, \beta_{2}=0.95, \epsilon=10^{-8}$；
• 批量小：320 万个 token（约 1500 个序列）；
• 使用梯度剪裁 $g_{t} \leftarrow g_{t} / \text{min}(1, |g_{2}|)$；
• 线性学习率预热（前 3.75 亿个 token）；
• 余弦学习率衰减到 10%；
• 逐渐增加批大小；
• 权重衰减设为 0.1。

分布式训练

为什么分布式训练越来越流行

近年来，深度学习被广泛应用到各个领域，包括计算机视觉、语言理解、语音识别、广告推荐等。 在这些不同的领域中，一个共同的特点就是模型规模越来越大，比如 GPT-3 模型的参数量达到 1750 亿(175B)。 即使用 1024 张 80 GB 的 A100，那么完整训练 GPT-3 的时长都需要 1 个月。

模型规模的扩大，对硬件（算力、内存）的发展提出要求。 然而，因为内存墙的存在， 单一设备的算力及容量，受限于物理定律，持续提高芯片的集成越来越困难，难以跟上模型扩大的需求。

为了解决算力增速不足的问题，人们考虑用多节点集群进行分布式训练，以提升算力，分布式训练势在必行。

常见的并行策略

简单的机器堆叠并不一定会带来算力的增长。 因为神经网络的训练并不是单纯的 “把原来一个设备做的事情，现在分给多个设备各自做”， 它不仅需要多个设备进行计算，还涉及到设备之间的数据传输，只有协调好集群中的计算与通信， 才能做高效的分布式训练。

以矩阵乘法的例子，解释 数据并行、模型并行 的区别。先了解以下逻辑上的矩阵乘法例子： 假设神经网络中某一层是做矩阵乘法，其中的输入 $x$ 的形状为 $4 \times 5$， 模型参数 $w$ 的形状为 $5 \times 8$，那么，矩阵乘法输出形状为 $4 \times 8$。 示意图如下：

• 单机单卡的训练中，以上矩阵乘法，先计算得到 $\text{out}$，并将 $\text{out}$ 传递给下一层， 并最终计算得到 $\text{loss}$，然后在反向传播过程中， 得到 $\frac{\partial\text{loss}}{\partial w}$，用于更新 $w$；
• 分布式训练中，依据是切分 $x$ 还是 $w$ 的不同，分为“数据并行”和“模型并行”策略。

数据并行

所谓的数据并行，就是将数据 $x$ 进行切分，而每个设备上的模型 $w$ 是完整的、一致的。 如下图所示，$x$ 被按照第 0 维度平均切分到 2 个设备上，两个设备上都有完整的 $w$。 这样，在两台设备上，分别得到的输出，都只是逻辑上输出的一半（形状为 $2\times 8$）， 将两个设备上的输出拼接到一起，才能得到逻辑上完整的输出。

注意，因为数据被分发到了 2 个设备上，因此反向传播过程， 各自设备上得到的 $\frac{\partial\text{loss}}{\partial w}$ 会不一样， 如果直接使用各个设备上的梯度更新各自的模型，会造成 2 个设备上的模型不一致， 训练就失去了意义（到底用哪个模型好呢？）。

因此，数据并行策略下，在反向传播过程中， 需要对各个设备上的梯度进行 AllReduce， 以确保各个设备上的模型始终保持一致。

当数据集较大，模型较小时，由于反向过程中为同步梯度产生的通信代价较小， 此时选择数据并行一般比较有优势，常见的视觉分类模型，如 ResNet50，比较适合采用数据并行。

模型并行

当神经网络非常巨大，数据并行同步梯度的代价就会很大， 甚至网络可能巨大到无法存放到单一计算设备中，这时候， 可以采用模型并行策略解决问题。

所谓的模型并行，就是每个设备上的数据是完整的、一致的，而模型 $w$ 被切分到了各个设备上， 每个设备只拥有模型的一部分，所有计算设备上的模型拼在一起，才是完整的模型。

如下图所示，$w$ 被按照第 1 维度平均切分到 2 个设备上，两个设备上都有完整的 $x$。 两个设备上的输出也需要通过拼接才能得到逻辑上的输出。

模型并行的好处是，省去了多个设备之间的梯度 AllReduce；但是，由于每个设备都需要完整的数据输入， 因此，数据会在多个设备之间进行广播，产生通信代价。比如，上图中的最终得到的 $\text{out}(4\times 8)$， 如果它作为下一层网络的输入，那么它就需要被广播发送到两个设备上。

语言模型，如 BERT，常采用模型并行。

流水并行

当神经网络过于巨大，无法在一个设备上存放时，除了上述的模型并行的策略外，还可以选择流水并行。 流水并行指将网络切为多个阶段，并分发到不同的计算设备上，各个计算设备之间以“接力”的方式完成训练。

如下图，展示了一个逻辑上的 4 层网络(T1 至 T4)是如何做流水并行的： 4 层网络被切分到 2 个计算设备上，其中 GPU0 上进行 T1 与 T2 的运算， GPU1 上进行 T3 与 T4 的计算。GPU0 上完成前两层的计算后， 它的输出被当作 GPU1 的输入，继续进行后两层的计算。

混合并行

网络的训练中，也可以将多种并行策略混用，以 GPT-3 为例，以下是它训练时的设备并行方案：

它首先被分为 64 个阶段，进行流水并行。每个阶段都运行在 6 台 DGX-A100 主机上。 在 6 台主机之间，进行的是数据并行训练；每台主机有 8 张 GPU 显卡， 同一台机器上的 8 张 GPU 显卡之间是进行模型并行训练。

并行策略的选择影响着训练效率，框架对并行训练的接口支持程度，决定了算法工程师的开发效率。 OneFlow 针对分布式训练所做的系统级设计和创新，为用户轻松上手分布式训练做足了铺垫。

参考

• 常见的分布式并行策略