概率论
王哲峰 / 2023-07-20
目录
随机事件
随机现象
概率论与数理统计研究的的对象是随机现象。概率论是研究随机现象的模型（即概率分布）， 数理统计是研究随机现象的数据收集和处理。
在一定条件下，并不总是出现相同结果的现象称为 随机现象，只有一个结果的现象称为 确定性想象。
随机现象有两个特点：
- 结果不止一个；
- 哪一个结果出现，人们事先并不知道；
对在相同条件下可以重复的随机现象的观察、记录、实验称为 随机试验，也有很多随机现象是不能重复的。 概率论与数理统计主要研究能大量重复的随机现象，但也十分注意研究不能重复的随机现象。
样本空间
随机现象的一切可能基本结果组成的集合称为样本空间，记为 $\Omega = \{\omega\}$，
其中 $\omega$ 表示基本结果，又称为 样本点。样本点是今后抽样的最基本单元。
认识随机现象首先要列出它的样本空间。
需要注意的是：
- 样本空间中的元素可以是数也可以不是数。
- 样本空间至少有两个样本点，仅含两个样本点的样本空间是最简单的样本空间。
- 从样本空间含有样本点的个数来区分，样本空间可分为有限与无限两类。
在数学处理上往往将样本点的个数为有限个或可列个的情况归为一类，称为离散样本空间。 而将样本点的个数为不可列无限个的情况归为另一类，称为连续样本空间。
随机事件
随机现象的某些样本点组成的集合称为 随机事件，简称 事件，常用大写字母 $A, B, C, \cdots$ 表示。
在以上事件的定义中，要注意一下几点：
- 任一事件
$A$是相应样本空间的一个子集。在概率论中常用一个长方形表示样本空间$\Omega$， 用其中一个圆或其他几何图形表示事件$A$，这类图形称为维恩图(Venn)图。 - 当子集
$A$中某个样本点出现了，那就说事件$A$发生了，或者说事件$A$发生当且仅当$A$中某个样本点出现了。 - 事件可以用集合表示，也可用明白无误的语言描述。
- 由样本空间
$\Omega$中的单元元素组成的自己称为 基本事件。 而样本空间$\Omega$的最大子集（即$\Omega$本身）称为必然事件。 样本空间$\Omega$的最小子集（即空集$\varnothing$）称为 不可能事件。
随机变量
用来表示随机现象结果的变量称为 随机变量，常用大写字母 $X, Y, Z$ 表示。
事件间的关系
包含关系
如果属于 $A$ 的样本点必属于 $B$，则称为 $A$ 被包含在 $B$ 中，或称 $B$ 包含 $A$，
记为 $A \subset B$，或 $B \supset A$。用概率论的语言说：事件 $A$ 发生必然导致事件 $B$ 发生。
相等关系
如果事件 $A$ 与事件 $B$ 满足：属于 $A$ 的样本点必属于 $B$，而且属于 $B$ 的样本点必属于 $A$，
即 $A \subset B$ 且 $B \supset A$，则称事件 $A$ 与 $B$ 相等，记为 $A = B$。
互不相容
如果 $A$ 与 $B$ 没有相同的样本点，则称 $A$ 与 $B$ 不相容。用概率论的语言说：
$A$ 与 $B$ 互不相容就是事件 $A$ 与事件 $B$ 不可能同时发生。
事件间的运算
事件的运算与集合的运算相当，有并、交、差和余等四种运算。
事件 A 与 B 的并
$A \cup B$：事件$A$与$B$中至少有一个发生。
事件 A 与 B 的交
$A \cap B$，简记为$AB$：事件$A$与$B$同时发生。
事件 A 与 B 的差
$A - B$，简记为$A\bar{B}$：事件$A$发生而$B$不发生。
对立事件
- 事件
$A$的对立事件，记为$\bar{A}$：$A$不发生
事件的运算性质
- 交换律
$$A \cup B = B \cup A, AB = BA$$
- 结合律
$$(A \cup B) \cup C = A \cup (B \cup C)$$
$$(AB)C = A(BC)$$
- 分配律
$$(A \cup B) \cap C = AC \cap BC$$
$$(A \cap B) \cup C = (A \cup C) \cap (B \cup C)$$
- 对偶率（德摩根公式）
- 事件并的对立等于对立的交：
$\overline{A \cup B} = \bar{A} \cap \bar{B}$ - 事件交的对立等于对立的并：
$\overline{A \cap B} = \bar{A} \cup \bar{B}$
- 事件并的对立等于对立的交：