方差分析简介

对于多个总体均值的比较问题, 处理这类问题通常采用所谓的方差分析方法

方差分析理论

单因子方差分析

问题描述：

通常, 在单因子试验中, 记因子为 $A$ , 设其有 $r$ 个水平, 记为 $A_1,A_2,\cdots ,A_r$ , 在每一个水平下考察的指标可以看成一个总体, 现有 $r$ 个水平, 故有 $r$ 个总体, 假定如下，并且这三个假定都可以用统计方法进行验证:

• (1) 每一个总体均为正态总体, 记为 $N({\mu }_i,{\sigma }_i^2),i=1,2,\cdots ,r$. 利用正态性验证成立.
• (2) 各总体的方差相同, 记为 ${\sigma }_1^2={\sigma }_2^2=\cdots ={\sigma }_r^2={\sigma }^2$. 利用方差齐性检验验证成立.
• (3) 从每一总体中抽取的样本是相互独立的, 即所有的试验结果 $y_{ij}$ 都相互独立. 可由随机化实现, 这里的随机化是指所有试验按随机次序进行.

接下来要做的工作就是比较各水平下的均值是否相同，即要对如下的一个假设进行检验:

$$H_0:{\mu }_1={\mu }_2=\cdots ={\mu }_r.$$

其备择假设为:

$$H_1:{\mu }_1,{\mu }_2,\cdots ,{\mu }_r不全相等.$$

在不会引起误会的情况下 $H_1$ 通常可省略不写.

• 问题讨论：
  • 如果 $H_0$ 成立，因子 $A$ 的 $r$ 个水平均值相同， 称因子 $A$ 的 $r$ 个水平间没有显著差异，简称因子 $A$ 不显著;
  • 反之，当 $H_0$ 不成立时，因子 $A$ 的 $r$ 个水平均值不全相同， 这时称因子 $A$ 的不同水平间有显著差异，简称因此 $A$ 显著.
• 进行试验:
  • 为了对假设 $H_0$ 进行试验，需要从每一水平下的总体抽取样本， 设从第 $i$ 个水平下的总体获得 $m$ 个试验结果， 记 $y_{ij}$ 表示第 $i$ 个总体的第 $j$ 次重复试验结果， 共得如下 $r\times m$ 个试验结果:

$$y_{ij},i=1,2,\cdots ,r,j=1,2,\cdots ,m.$$

• 其中: $r$ 为水平数，$m$ 为重复数，$i$ 为水平编号，$j$ 为重复序号.
  • 在水平 $A_i$ 下的试验结果 $y_{ij}$ 与该水平下的指标均值 ${\mu }_i$ 一般总是有差距的， 记 ${ϵ}_{ij}=y_{ij}-{\mu }_i$ , ${ϵ}_{ij}$ 称为随机误差，于是有:

$$y_{ij}={\mu }_i+{ϵ}_{ij}$$

• 上式称为试验结果 $y_{ij}$ 的数据结构式, 把三个假定用于数据结构式就可以写出单因子方差分析的统计模型.
• 单因子方差分析的统计模型

$$\{\begin{array}{c}{y}_{ij}={\mu }_i+{ϵ}_{ij},i=1,2,\cdots ,r,j=1,2,\cdots ,m.\\ 诸{ϵ}_{ij}相互独立，且都服从N(0,{\sigma }^2)\end{array}$$

为了更好地描述数据，常在方差分析中引入总均值与水平效应的概念， 称诸 ${\mu }_i$ 的平均(所有试验结果的均值的平均)为总均值，也称一般平均。

$$\mu =\frac{1}{r}({\mu }_1+{\mu }_2+\cdots +{\mu }_r)=\frac{1}{r}\sum _{i=1}^r{\mu }_i$$

称第 $i$ 水平下的均值 ${\mu }_i$ 与总均值 $\mu$ 的差为因子 $A$ 的第 $i$ 水平的主效应， 简称为 $A_i$ 的水平效应:

$$a_i={\mu }_i-\mu ,i=1,2,\cdots ,r.$$

容易看出第 $i$ 个总体均值是由总均值与该水平效应叠加而成的:

$$\{\begin{array}{c}{\sum }_{i=1}^r{a}_i=0\\ {\mu }_i=\mu +a_i\end{array}$$

$$\{\begin{array}{c}{y}_{ij}=\mu +a_i+{ϵ}_{ij},i=1,2,\cdots ,r,j=1,2,\cdots ,m.\\ {\sum }_{i=1}^r{a}_i=0,\\ {ϵ}_{ij}相互独立，且都服从N(0,{\sigma }^2).\end{array}$$

• 单因子方差分析的假设

原假设:

$$H_0:a_1=a_2=\cdots =a_r.$$

其备择假设为:

$$H_1:a_1,a_2,\cdots ,a_r不全相等.$$

多因子方差分析