方差分析简介

对于多个总体均值的比较问题, 处理这类问题通常采用所谓的方差分析方法

方差分析理论

单因子方差分析

问题描述：

通常, 在单因子试验中, 记因子为 $A$ , 设其有 $r$ 个水平, 记为 $A_{1}, A_{2}, \cdots, A_{r}$ , 在每一个水平下考察的指标可以看成一个总体, 现有 $r$ 个水平, 故有 $r$ 个总体, 假定如下，并且这三个假定都可以用统计方法进行验证:

• (1) 每一个总体均为正态总体, 记为 $N(\mu_{i}, \sigma_{i}^{2}), i=1,2, \cdots, r$. 利用正态性验证成立.
• (2) 各总体的方差相同, 记为 $\sigma_{1}^{2} = \sigma_{2}^{2} = \cdots = \sigma_{r}^{2} = \sigma^{2}$. 利用方差齐性检验验证成立.
• (3) 从每一总体中抽取的样本是相互独立的, 即所有的试验结果 $y_{ij}$ 都相互独立. 可由随机化实现, 这里的随机化是指所有试验按随机次序进行.

接下来要做的工作就是比较各水平下的均值是否相同，即要对如下的一个假设进行检验:

$$H_{0}: \mu_{1} = \mu_{2} = \cdots = \mu_{r}.$$

其备择假设为:

$$H_{1}: \mu_{1}, \mu_{2}, \cdots, \mu_{r} 不全相等.$$

在不会引起误会的情况下 $H_{1}$ 通常可省略不写.

• 问题讨论：
  • 如果 $H_{0}$ 成立，因子 $A$ 的 $r$ 个水平均值相同， 称因子 $A$ 的 $r$ 个水平间没有显著差异，简称因子 $A$ 不显著;
  • 反之，当 $H_{0}$ 不成立时，因子 $A$ 的 $r$ 个水平均值不全相同， 这时称因子 $A$ 的不同水平间有显著差异，简称因此 $A$ 显著.
• 进行试验:
  • 为了对假设 $H_{0}$ 进行试验，需要从每一水平下的总体抽取样本， 设从第 $i$ 个水平下的总体获得 $m$ 个试验结果， 记 $y_{ij}$ 表示第 $i$ 个总体的第 $j$ 次重复试验结果， 共得如下 $r \times m$ 个试验结果:

$$y_{ij}, i = 1, 2, \cdots, r, j=1, 2, \cdots, m.$$

• 其中: $r$ 为水平数，$m$ 为重复数，$i$ 为水平编号，$j$ 为重复序号.
  • 在水平 $A_{i}$ 下的试验结果 $y_{ij}$ 与该水平下的指标均值 $\mu_{i}$ 一般总是有差距的， 记 $\epsilon_{ij} = y_{ij} - \mu_{i}$ , $\epsilon_{ij}$ 称为随机误差，于是有:

$$y_{ij} = \mu_{i} + \epsilon_{ij}$$

• 上式称为试验结果 $y_{ij}$ 的数据结构式, 把三个假定用于数据结构式就可以写出单因子方差分析的统计模型.
• 单因子方差分析的统计模型

$$\begin{cases} y_{ij} = \mu_{i} + \epsilon_{ij}, i = 1, 2, \cdots, r, j=1, 2, \cdots, m. \\ 诸 \epsilon_{ij} 相互独立，且都服从 N(0, \sigma^{2}) \end{cases}$$

为了更好地描述数据，常在方差分析中引入总均值与水平效应的概念， 称诸 $\mu_{i}$ 的平均(所有试验结果的均值的平均)为总均值，也称一般平均。

$$\mu = \frac{1}{r}(\mu_{1} + \mu_{2} + \cdots + \mu_{r}) = \frac{1}{r}\sum_{i=1}^{r}\mu_{i}$$

称第 $i$ 水平下的均值 $\mu_{i}$ 与总均值 $\mu$ 的差为因子 $A$ 的第 $i$ 水平的主效应， 简称为 $A_{i}$ 的水平效应:

$$a_{i}=\mu_{i} - \mu, i = 1, 2, \cdots, r.$$

容易看出第 $i$ 个总体均值是由总均值与该水平效应叠加而成的:

$$\begin{cases} \sum_{i=1}^{r}a_{i}=0 \\ \mu_{i} = \mu + a_{i} \end{cases}$$

$$\begin{cases} y_{ij} = \mu + a_{i} + \epsilon_{ij}, i = 1, 2, \cdots, r, j=1, 2, \cdots, m. \\ \sum_{i=1}^{r}a_{i}=0, \\ \epsilon_{ij} 相互独立，且都服从 N(0, \sigma^{2}). \end{cases}$$

• 单因子方差分析的假设

原假设:

$$H_{0}: a_{1} = a_{2} = \cdots = a_{r}.$$

其备择假设为:

$$H_{1}: a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{r} 不全相等.$$

多因子方差分析