特征值和特征向量

特征值和特征向量的定义如下：

$$Ax=\lambda x$$

其中：

• $A$ 是一个 $n\times n$ 矩阵
• $\lambda$ 是矩阵 $A$ 的一个特征值
• $x$ 是矩阵 $A$ 的特征值 $\lambda$ 对应的特征向量，$x$ 是一个 $n$ 维向量

求出特征值和特征向量的目的是可以将矩阵 $A$ 进行特征分解。 如果求出了矩阵 $A$ 的 $n$ 个特征值 ${\lambda }_1\le {\lambda }_2\le \dots ,{\lambda }_n$， 以及这 $n$ 个特征值对应的特征向量 ${\omega }_1,{\omega }_2,\dots ,{\omega }_n$，那么，矩阵 $A$ 就可以用以下的特征分解形式表示：

$$A=W\Sigma W^{-1}$$

其中：

• $W$ 是 $n$ 个特征向量所张成的 $n\times n$ 维矩阵
• $\Sigma$ 是 $n$ 个特征值为主对角线的 $n\times n$ 维矩阵

一般会把这 $n$ 个特征向量标准化，即满足 $||{\omega }_i|{|}_2=1$，或者 ${\omega }_i^T\omega =1$， 此时 $W$ 的 $n$ 个特征向量为标准正交基，满足 $W^{T}W=I$，即 $W^T=W^{-1}$，也就是说 $W$ 为酉矩阵。 这样特征分解表达式可以写成：

$$A=W\Sigma W^T$$

注意到要进行特征分解，矩阵 $A$ 必须为方阵。如果 $A$ 不是方阵，即行和列不相同时，还可以对矩阵进行特征分解吗？ 答案是可以，此时 SVD 就是针对这种情况的方案

SVD 介绍

SVD 简介

奇异值分解(Singular Value Decomposition，以下简称 SVD)是在机器学习领域广泛应用的算法，它不光可以用于降维算法中的特征分解， 还可以用于推荐系统，以及自然语言处理等领域。是很多机器学习算法的基石。本文就对 SVD 的原理做一个总结， 并讨论在在 PCA 降维算法中是如何运用运用 SVD 的

SVD 定义

SVD 也是对矩阵进行分解，但是和特征分解不同，SVD 并不要求分解的矩阵为方阵。假设矩阵 $A$ 是一个 $m\times n$ 的矩阵， 那么定义矩阵 $A$ 的 SVD 为：

$$A=U\Sigma V^T$$

其中：

• $U$ 是一个 $m\times m$ 的矩阵
• $\Sigma$ 是一个 $m\times n$ 的矩阵，除了主对角线上的元素以外，全为 0，主对角线上的每个元素都称为奇异值
• $V$ 是一个 $n\times n$ 的矩阵
• $U$ 和 $V$ 都是酉矩阵，即满足 $U^{T}U=I$，$V^{T}V=I$

下图可以很形象得看出上面 SVD 的定义：

如何求出 SVD 分解后的 $U$、$\Sigma$、$V$ 这三个矩阵？

1. 如果将 $A$ 的转置和 $A$ 做矩阵乘法，那么会得到 $n\times n$ 的一个方阵 $A^{T}A$。 既然 $A^{T}A$ 是方阵，那么就可以进行特征分解，得到的特征值和特征向量满足下式：

   $$\left(A^{T}A\right){\upsilon }_i={\lambda }_i{\upsilon }_i$$

   这样就可以得到矩阵 $A^{T}A$ 的 $n$ 个特征值和对应的 $n$ 个特征向量 $\upsilon$ 了。 将 $A^{T}A$ 的所有特征向量张成一个 $n\times n$ 的矩阵 $V$，就是 SVD 公式里面的 $V$ 矩阵了。 一般将 $V$ 中的每个特征向量叫做 $A$ 的右奇异向量

2. 如果将 $A$ 和 $A$ 的转置做矩阵乘法，那么会得到 $m\times m$ 的一个方阵 $A{A}^T$。 既然 $A{A}^T$ 是方阵，那么就可以进行特征分解，得到的特征值和特征向量满足下式：

   $$\left(A{A}^T\right)u_i={\lambda }_i{u}_i$$

   这样就可以得到矩阵 $A{A}^T$ 的 $m$ 个特征值和对应的 $m$ 个特征向量 $u$ 了。 将 $A{A}^T$ 的所有特征向量张成一个 $m\times m$ 的矩阵 $U$，就是 SVD 公式里面的 $U$ 矩阵了。 一般将 $U$ 中的每个特征向量叫做 $A$ 的左奇异向量

3. 由于 $\Sigma$ 除了对角线上是奇异值，其他位置都是 0，那么只需要求出每个奇异值 $\sigma$ 就可以了。 注意到：

   $$A=U\Sigma V^T$$ $$AV=U\Sigma V^{T}V$$ $$AV=U\Sigma$$ $$A{\upsilon }_i=u_i{\sigma }_i$$ $${\sigma }_i=\frac{A{\upsilon }_i}{u_i}$$

   这样就可以求出每个奇异值，进而求出奇异值矩阵 $\Sigma$

上面还有一个问题没有讲，就是 $A^{T}A$ 的特征向量组成的就是 SVD 的 $V$ 矩阵， 而 $A{A}^T$ 的特征向量组成的就是 SVD 中的 $U$ 的 $U$ 矩阵，这个有什么根据吗？ 这个其实很容易证明，以 $V$ 矩阵的证明为例：

$$A=U\Sigma V^T$$

$$A^T=V\Sigma U^T$$

$$A^{T}A=V\Sigma U^{T}U\Sigma V^T=V{\Sigma }^2{V}^T$$

上式证明使用 $U^{T}U=I$，${\Sigma }^T=\Sigma$， 可以看出 $A^{T}A$ 的特征向量组成的的确就是 SVD 中的 $V$ 矩阵。 类似的方法可以得到 $A{A}^T$ 的特征向量组成的就是 SVD 中的 $U$ 矩阵

进一步，可以看出特征值矩阵等于奇异值矩阵的平方，也就是说特征值和奇异值满足如下关系：

$${\sigma }_i=\sqrt{{\lambda }_i}$$

这样也就是说，可以不用 ${\sigma }_i=\frac{A{\upsilon }_i}{u_i}$ 来计算奇异值， 也可以通过求出 $A^{T}A$ 的特征值取平方跟来求奇异值

SVD 示例

这里我们用一个简单的例子来说明矩阵是如何进行奇异值分解的。我们的矩阵 $A$ 定义为：

$$A=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 1\\ 1& 0\end{array}\right)$$

首先求出 $A^{T}A$ 和 $A{A}^T$：

$$A^{T}A=\left(\begin{array}{ccc}0& 1& 1\\ 1& 1& 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 1\\ 1& 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 1& 2\end{array}\right)$$

$$A{A}^T=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 1\\ 1& 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}0& 1& 1\\ 1& 1& 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 0\\ 1& 2& 1\\ 0& 1& 1\end{array}\right)$$

进而求出 $A^{T}A$ 的特征值和特征向量：

$$\{\begin{array}{c}{\lambda }_1=3\\ {\upsilon }_1=\left(\begin{array}{c}1/\sqrt{2}\\ 1/\sqrt{2}\end{array}\right)\end{array}$$

$$\{\begin{array}{c}{\lambda }_2=1\\ {\upsilon }_2=\left(\begin{array}{c}-1/\sqrt{2}\\ 1/\sqrt{2}\end{array}\right)\end{array}$$

接着求出 $A{A}^T$ 的特征值和特征向量：

$$\{\begin{array}{c}{\lambda }_1=3\\ u_1=\left(\begin{array}{c}1/\sqrt{6}\\ 2/\sqrt{6}\\ 1/\sqrt{6}\end{array}\right)\end{array}$$

$$\{\begin{array}{c}{\lambda }_2=1\\ u_2=\left(\begin{array}{c}1/\sqrt{2}\\ 0\\ -1/\sqrt{2}\end{array}\right)\end{array}$$

$$\{\begin{array}{c}{\lambda }_3=0\\ u_3=\left(\begin{array}{c}1/\sqrt{3}\\ -1/\sqrt{3}\\ 1/\sqrt{3}\end{array}\right)\end{array}$$

利用 $A{\upsilon }_i={\sigma }_i{u}_i,i=1,2,\dots$ 求奇异值：

$$\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 1\\ 1& 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}1/\sqrt{2}\\ 1/\sqrt{2}\end{array}\right)={\sigma }_1\left(\begin{array}{c}1/\sqrt{6}\\ 2/\sqrt{6}\\ 1/\sqrt{6}\end{array}\right)\Rightarrow {\sigma }_1=\sqrt{3}$$

$$\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 1\\ 1& 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}-1/\sqrt{2}\\ 1/\sqrt{2}\end{array}\right)={\sigma }_2\left(\begin{array}{c}1/\sqrt{2}\\ 0\\ -1/\sqrt{2}\end{array}\right)\Rightarrow {\sigma }_2=\sqrt{1}$$

也可以用 ${\sigma }_i=\sqrt{{\lambda }_i}$ 直接求出奇异值为 $\sqrt{3}$ 和 $1$

最终得到 $A$ 的奇异值分解为：

$$A=U\Sigma V^T=\left(\begin{array}{ccc}1/\sqrt{6}& 1/\sqrt{2}& 1/\sqrt{3}\\ 2/\sqrt{6}& 0& -1/\sqrt{3}\\ 1/\sqrt{6}& -1/\sqrt{2}& 1/\sqrt{3}\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}\sqrt{3}& 0\\ 0& 1\\ 0& 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}1/\sqrt{2}& 1/\sqrt{2}\\ -1/\sqrt{2}& 1/\sqrt{2}\end{array}\right)$$

SVD 性质

对于奇异值，它跟特征分解中的特征值类似，在奇异值矩阵中也是按照从大到小排列，而且奇异值的减少特别的快， 在很多情况下，前 10% 甚至 1% 的奇异值的和就占了全部的奇异值之和的 99% 以上的比例。 也就是说，也可以用最大的 $k$ 个的奇异值和对应的左右奇异向量来近似描述矩阵，也就是说：

$$\begin{array}{cc}{A}_{m\times n}& =U_{m\times m}{\Sigma }_{m\times n}{V}_{n\times n}^T\\ & \approx U_{m\times k}{\Sigma }_{k\times k}{V}_{k\times n}^T\end{array}$$

其中 $k$ 要比 $n$ 小很多，也就是一个大的矩阵 $A$ 可以用三个小矩阵 $U_{m\times k}$、 ${\Sigma }_{k\times k}$、$V_{k\times n}^T$ 来表示。如下图所示， 现在矩阵 $A$ 只需要灰色的部分的三个小矩阵就可以近似描述了

由于这个重要的性质，SVD 可以用于 PCA 降维，来做数据压缩和去噪。也可以用于推荐算法，将用户和喜好对应的矩阵做特征分解， 进而得到隐含的用户需求来做推荐。同时也可以用于 NLP 中的算法，比如潜在语义索引(LSI)

SVD 在 PCA 中的应用

PCA降维，需要找到样本协方差矩阵 $X^{T}X$ 的最大的 $d$ 个特征向量， 然后用这最大的 $d$ 个特征向量张成的矩阵来做低维投影降维。可以看出， 在这个过程中需要先求出协方差矩阵 $X^{T}X$，当样本数多样本特征数也多的时候， 这个计算量是很大的

注意到 SVD 也可以得到协方差矩阵 $X^{T}X$ 最大的 $d$ 个特征向量张成的矩阵， 但是 SVD 有个好处，有一些 SVD 的实现算法可以不求先求出协方差矩阵 $X^{T}X$，也能求出右奇异矩阵 V。 也就是说，PCA 算法可以不用做特征分解，而是做 SVD 来完成。这个方法在样本量很大的时候很有效。 实际上，scikit-learn 的 PCA 算法的背后真正的实现就是用的 SVD，而不是认为的暴力特征分解

另一方面，注意到 PCA 仅仅使用了 SVD 的右奇异矩阵，没有使用左奇异矩阵，那么左奇异矩阵有什么用呢？

假设样本是 $m\times n$ 的矩阵 $X$， 如果通过 SVD 找到了矩阵 $X{X}^T$ 最大的 $d$ 个特征向量张成的 $m\times d$ 维矩阵 $U$， 则如果进行如下处理：

$$X_{d\times n}^{{}^{\prime }}=U_{d\times m}^T{X}_{m\times n}$$

可以得到一个 $d\times n$ 的矩阵 $X‘$，这个矩阵和原来的 $m\times n$ 维样本矩阵 $X$ 相比， 行数从 $m$ 减到了 $k$，可见对行数进行了压缩：

• 左奇异矩阵可以用于行数的压缩
• 右奇异矩阵可以用于列数即特征维度的压缩，也就是 PCA 降维

SVD 总结

SVD 作为一个很基本的算法，在很多机器学习算法中都有它的身影，特别是在现在的大数据时代， 由于 SVD 可以实现并行化，因此更是大展身手

SVD 的缺点是分解出的矩阵解释性往往不强，有点黑盒子的味道，不过这不影响它的使用

参考

• 奇异值分解(SVD)